Un lien intéressant dont voici un extrait.
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Posted by on April 05, 2001 at 02:28:53 PM EDT:
In Reply to: Bavard macaronique : tu essayes de noyer le poisson. posted by on April 04, 2001 at 04:40:33 PM EDT:
Un lien intéressant : Annexe 1 Le théorème de Gödel.
Qui est Gödel ? voir: index
Comment Gödel a -t-il démontré l' incomplétude de l'arithmétique ?
Je vous renvoie aux 23 propositions de Hilbert :voir index
En 1930, Gödel démontre la complétude de la logique du 1° ordre.
En 1931, " LE " théorème de Gödel montre l'incomplétude de tout système formel destiné à formaliser l'arithmétique.
Logique et mathématiques sont ainsi séparés à partir du principe de complétude.
Revoyons la démonstration simplifiée de Gödel :
1) Comment construire une formule arithmétique G représentant l'énoncé suivant :
" La formule G n'est pas démontrable " ?
G est vraie ssi elle n'est pas démontrable, G dit quelque chose d'elle même , elle est autoréférentielle donc source de paradoxes.
2) Gödel montre que G est démontrable ssi sa négation non G est démontrable.
Si G et non G sont démontrables, l'arithmétique est inconsistante. Si l'arithmétique est consistante , alors ni G , ni non G ne sont démontrables. G est une formule indécidable.
3) Bien que G ne soit pas démontrable, elle est arithmétiquement vraie.
4) Puisque G est vraie et qu'elle est indécidable, alors les axiomes sont sémantiquement incomplets . Donc il y a des formules vraies qui ne sont pas décidables au sein du système.
5) Gödel construit une formule A qui représente la proposition " l' arithmétique est consistante ".
Si A alors G
A implique G est démontrable, or A n'est pas démontrable dans le système. Si A était démontrable , alors G le serait aussi ; donc la formule est indécidable.
Ainsi, si l'arithmétique est consistante, alors on ne peut prouver dans l'arithmétique la formule qui exprime cette consistance.
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