Posted by on April 05, 2001 at 04:44:02 AM EDT:
In Reply to: Bavard macaronique : tu essayes de noyer le poisson. posted by on April 04, 2001 at 04:40:33 PM EDT:
Auteur(s) : Gödel Kurt ; Nagel Ernest ; Newman James R. ; Girard Jean-Yves
Titre : le Théorème de Gödel
Editeur : Seuil, Paris, 1989
Résumé : Cet ouvrage s'insère dans une collection dont le but est de remettre en circulation les textes fondamentaux sources du savoir. Il comporte trois parties :
La première intitulée "La démonstration de Gödel" est une longue présentation par deux philosophes américains E. Nagel et J.R. Newmandu publié en 1931 sous le titre sous le titre : "Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés".
Dans cette introduction, les deux auteurs insistent sur la portée philosophique du résultat obtenu par Gödel : l'impossibilité de réaliser le programme de recherche prévu par Hilbert et son école, à savoir donner une preuve de la consistance absolue (c'est à dire la non contradiction) de l'arithmétique formelle. De plus, ils tentent de fournir une idée de la démonstration elle même (assez technique pour les non initiés) dans une tradition de clarté très anglo-saxonne (plus particulièrement dans les pages intitulées "au cœur du raisonnement de Gödel").
La seconde partie est la traduction du mémoire de Gödel qui comporte lui même quatre parties :
1. Une présentation non formelle de "l'idée directrice de la démonstration ; sans prétendre encore bien entendu à l'exactitude" par Gödel qui fait référence à une analogie avec les paradoxes "de Richard" et "du menteur".
2. Le cœur de la démonstration qui consiste en
a) une exposition brève du système formel noté P (celui Principia Mathematica de Russell-Whitehead), que Gödel va étudier d'un point de vue extérieur (métamathématique),
b) "L'assignation de nombres naturels aux signes primitifs du système P" assignation qu'on dénomme depuis "codage de Gödel",
c) une "digression" sur les fonctions et les relations récursives,
d) la construction explicite de quarante cinq relations (récursives au sens c) traduisant pas à pas des prédicats métamathématiques du genre : "la suite de formules codée par l'entier x est une preuve de la formule codée par y" et permettant, à l'aide du théorème V, la projection de ces notions intuitives dans le système formel P,
e) l'atteinte du "but final" (le théorème VI) où Gödel exhibe la fameuse formule exprimable dans le système formel P tel que ni cette formule, ni la négation de celle-ci ne soit prouvable dans le système K où K est le système P auquel on peut adjoindre n'importe quel ensemble de formule pourvu que celui-ci soit récursif et bien sûr consistant. Une telle formule est appelée indécidable par Gödel (à la suite de Hilbert).
3. Dans cette partie plus technique (mais importante pour les logiciens dans l'histoire du fondement des mathématiques) Gödel définit la notion de "relation arithmétique" et montre, via le théorème VI précédent, qu'il existe également des propositions arithmétiques indécidables.
4. Gödel montre que la formule qui affirme qu'un système formel K supposé intuitivement consistant est exprimable dans K mais n'est pas démontrable dans K.
La troisième partie du livre nommée "le champ du signe ou la faillite du réductionnisme" est rédigée par le logicien contemporain J-Y Girard. Il y exprime son point de vue de chercheur actuel vis à vis de la "tentation mécaniste de Hilbert", insiste sur les notions de "vérité", "prouvabilité", "d'arithmétisation", "diagonalisation" et conclut sur la "postérité" de Hilbert et Gödel. Notes :
Cet ouvrage comprend : traduit de l'anglais, l'ouvrage d'Ernest Nagel et James R. Newman, Gögel's Proof ; traduit de l'allemand, l'article de Gödel de 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I", suivi d'un commentaire inédit de Jean-Yves Girard.